Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(5・完)

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(1)
Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(2)
Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(3)
Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(4)

今回で最終回です。













(9)
中央部分で【アンチペア】発生。
Aの候補は(6,7,8)ですが、7or8だとすると(A,B)=(7,8)のペアになります。タテ和により(C,D)=(1,2)。Cに入る数字がなくなってしまうので不可です。

【アンチペア】【アンチトリプル】の手筋は【ペア】【トリプル】と裏表で、同時に探すことができます。慣れてしまえば、さほど見つけにくい手筋ではありません。


右中央へ。
まずはわかりやすいところで、E=6,F=3

【存在証明】の考え方によりヨコ列の7マス41、6マス37、7マス40には9,8,7,6が含まれますが、この段階まで来れば、これらの数字の入るタテ列がかなり限られることが分かると思います。
一気に埋めてしまいましょう。

念のため途中経過を。


















(10)

いよいよ左中央部分に入ります。
ここで最後の大仕掛けが発生しますが、その前にもう少しだけ準備。

ヨコ6マス25について考えると、【存在証明】により、1,2が必ず入ります(1+34567=26)。タテ列を見ながら2の入る場所を探していくと、A=2。それにより、B=3

さらにヨコ4マス13には1が必ず入るので、C=1。
そしてEに入る数字の制限から、D=5or6

これで準備完了です。










上級手筋【和の手筋】を使います。

左中央部分を赤と青の四角で囲ってみました。
赤は、いくつかのヨコの和。
青は、いくつかのタテの和。

これらの重なり方によって、次の式が成立します

赤と青の共通部分の数字全ての和
= 赤い四角内の数字全ての和 - X
= 青い四角内の数字全ての和 - 5 - 6 - Y

計算してみましょう

  赤い四角 - X
= 6 + 27 + 31 + 21 + 42 + 16 + 21 + 13 - X
= 177 - X
青い四角 - 5 - 6 - Y
= 22 + 37 + 17 + 42 + 21 + 35 + 15 - 5 - 6 - Y
= 178 - Y

177 - X = 178 - Y
ここで X = 5 or 6、Y = 7 or 8 or 9を当てはめてみると、X=6, Y=7が確定！
このように、個別のマスの数字はわからなくても、エリア内の合計を使って、あるマスどうしの関係性をあぶりだすことができます。これが、【和の手筋】です。

もっとも、こんなにうまくいくことばかりではありません。和の手筋はきわめて限定的な手筋です。たとえば準備のところで、X=7の可能性を残していたら、進みませんし、それっぽい形をしててもまったく使えない、ということもよくあります。
ともあれ今回はきれいにはまりました。これは和の手筋の中でも、やや発展的な形です。

(11)
あとはそんなに難しいところは残っていないのですが、見落としやすい部分を少々補足。

ヨコ6マス29を【最大最小】で埋めると、まるごと広いエリアが残ります。

ちょっとわかりにくいのですが、ヨコ5マス21に注目すると、タテのからみで1がどこにも置けないため、分解が23457になります。

あとはそんなに難しくないはず。

下段の方は、(10)で入った6，7を起点に、ヨコ6マス25の分解を計算してみるのがいいでしょうか。127+843or654。654の方だと、A,Bに配置できなくなってしまいます。

といったところで、完成です。
８８８８８８８～

















（総評）
随所に中～上級手筋を散りばめた、程よい手応えのある問題でした。
左上が「わかりにくさ」に寄っている部分はちょっと気になりましたが、進むべき局面ではざっくり進むし、和の手筋などの大物手筋も仕込まれていて、じゅうぶんに面白い問題だと思います。

もし気が向いたら、こちらからダウンロードして、ぜひ自分自身の手で解いてみてください。難しいな、と思ったらこの記事を参考にしてください。きっと新しい発見があると思います。

ちなみに、「世界一難しい」については言い過ぎですね。このパズルには、さらに発展的な手筋があります。世界文化社のサムクロス基準では、☆５か６くらいでしょう（8段階）。

最後に。解説にあたって、なるべく説明が簡潔になるように解いていきましたが、一から解いていく場合には、もっと余計なメモや回り道をすることになります。候補数字もたくさん書きます。
初めて解いたときの紙を、→に載せておきます。

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(4)

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(1)
Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(2)
Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(3)
の続きです。

前回のラストの状況です。一気に埋まったような気がしていましたが、思ったほどは進んでないですね．．．












(7)
次の一手はちょっと厄介です。
細かく埋まる場所(例えば右中央5マス16と6マス36の交差)や2,3択程度に候補を絞り込める場所はいくつかあるのですが、 なかなか決め手になる場所がない。人によっては、ここでかなり時間をとられるでしょう。

見落としか、未知の手筋があるのか、それとも地道に候補を削る作業で道を開くのか
．．．なかなかツライ時間です。


さて。

左上エリアをもう一度見直してみます。この領域、2択と3択が密集していて、一つ決まれば連鎖的に決まりそうですね。
まさか．．．








Aに5を入れてみます。
そうすると周りのマスがどんどん確定していって．．．ヨコ4マス20の3マス分が埋まったところで．．．
B=9となるはずですが、タテ列に既に9が入っているので矛盾！！！

したがってA=6が確定！








こういう解き方を、一般に【単純仮定】といいます。特に決まった形はなく、なんとなくここをこの数字に仮定してみると何手か先でハタンするから、別の数字にして、というように考え方です。
この【単純仮定】はきわめて強力な解き方であり、極論してしまうと、どんなパズルであっても、この【単純仮定】を何段階にも重ねれば解けてしまいます。

いくら難問とはいえ、【単純仮定】を許容するかは議論の分かれるところです。「世界で最も難しいナンプレ」が不評なのも、【単純仮定】を連発するだけの「難問」だからです。
まあ今回のケースでは見た目にわかりやすくなっているので、個人的にはOKかな、と思います。


(8)
左上部分の確定によって、残り部分が一気に進みます。途中経過を見ながら進んでみます。

6を埋めてすぐ後の状況です。
A,Bの2マスは4,5,6のどれか2つが入りますが、ヨコ列について【最大最小】の考え方で見てみると、(A,B)=(4,6)or(5,6)。つまりAかBのどちらかに6が入ります。
タテの関係から、B=6。

Bから連鎖して一帯の数字すべてが確定します。







今の場所の右下です。
C=4が入ることによって、ヨコの5マス32の分解が一意に決定しました。
4マス28は(9,8,7,4)か(9,8,6,5)の二通りしかありませんが、前者はCによって不可能です。
8,6,5の入るマスを決めたら、今度はタテの6マス21を調べてみましょう。








右上部分が埋まり始めた状況です。
残り数字の候補が2つ程度のマスには、メモを入れています。

ここでヨコ6マス37に注目。6マス37の分解は、123456789(合計45)から3マス8(1,2,5か1,3,4)を取り除いたものになります。1,3,4を除こうとするとD=E=2となってしまうので、不可。
したがって、(3,4,6,7,8,9)の分解でD=3, E=4となります。そしてF=6も確定。

和の分解が2通り程度と少ない列では、候補数字が部分的に絞り込まれた時点で分解が決定してしまうということがあります。そうなるかもしれない、という目で見ていると、見つけることができます。

さらに少しだけ進めました。

右上エリアはこのまま完成させてしまいましょう。

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(3)

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(1)
Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(2)
の続きです。

前回までで、下1/3はひとまず完了しました。
今度は上から埋めていきます。













(5)

盤面上部に着手します。まずは左上部分。

埋め忘れていた3マス24を埋めました。
ヨコの3マス19に注目すると、ABが6以下、Cが8以下であることから、【最大最小】の考え方により、C=8、(A,B)=(5,6)が確定。

さらにすぐ下の4マス20に注目すると、Dが12、EFが6以下、Gが8以下。この条件で合計20を満たす方法を考えてみると、EFは456、Gは78でなくてはいけません。

さて。
２つのタテ列(45と42)で987が埋まったので、何かができそうです。

ヨコ6マス37、9マス45、6マス39は、いずれも987が入る組み合わせです。これらの列で987が入るマスを考えてみます。

まず39の列で789が入るのは、HIJの3マスのみ。さらに37の列をみると、Kはタテで987を使い切ったのでLMNに987。 

最後にヨコ9マス45。【最大最小】により、Oは4以下。よってPQRが987。

右下に視点を移して9に注目すると、もう少しだけ進めます。
ヨコ5マス32には9が必ず含まれますが、Sにしか入りません。さらにすぐ下の6マス38でT。2ヶ所ある8マス36が効いています。


この考え方で埋まるのは、ここまででしょうか













(6)
左上に戻って、候補数字を絞り込んでみます。
よく見るとABEで456の【トリプル】。したがってF=1、(C,D)=(2,3)











さて、この次がわかりにくい。
ここを見落として他の場所に行ってしまいやすいのですが、解くためには必ず通らねばならない道と思われます。

タテの7マス42で、3の入る場所を探します。
Gに入ると、G+H=5より、残り4マスで合計32となって、不可。
よってI=3。

これが決まったことで、周辺に一気に波及します。
J=4、(K,L)=(7,8)。M=9、N=9、O=9が順に確定。



さらに右上部分にも波及します。
O=9によって、タテ7マス30にはこれ以上7と8が入らなくなりました（1234569=30）。

この領域のタテ列をよく見ると、△が1つ以上あるいは2つ以上あるいは3つ入ってはいけない列が多数あります。
このことに注意しながら見ていくと、△がどんどん書き込めます。一つのヨコ列について△を書くことで、それが別のヨコ列の情報となって、△の入る場所をさらに決定します。
これで順に、(P,Q,R)=(7,8,9)、(S,T,U)=(7,8,9)、(V,W)=(8,9)。

ここで改めてヨコ6マス37を見ると、M=9が入ったことにより、X=9が確定。上に戻ってさらにいくつかの数字が確定します。


今回は、ダイナミックな789の配置と3の場所を探すのがポイントでした。前者は比較的見つけやすいですが、後者にはやや唐突感があり、難問ということなのでしょうか。
解説ということで重要な部分に絞って書いていますが、実際には、ある程度手が進まなくなってきた段階で個々のマスの候補数字を順に検討します。その過程の中で、なんとか見つかるかな、といったところです。
しかしわかりにくい分、そこを突破した後は一気に数字が埋まるようになっています。単に難しいだけのパズルではなく、十分に展開も考慮されていると感じました。

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(2)

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(1) の続きです。
現在の状況はこんな感じ。
















 
(3)
右下からつないで中央へ。
5マス17の6が確定しているので、残りは1235。
埋めていくとA、Bの候補で 【最大最小の手筋】がまた発生して、A=2、B=4に確定。
7マス42との交差から、左下の4マス10まで埋めていけます

さてC～Eのマスに注目。
Cは4マス10で最大4、Dは5マス15で最大5、Eは2マス3で最大2
したがってC～Eの合計は最大11。ヨコの残り3マスの合計最大24。
これでやっと6マス35なので、まさにこのように、C～Eが決まります(*1)

【最大最小の手筋】の大がかりなパターンです。実は初手からいきなり埋められます。初めて見ると手品みたいですが、慣れると普通に見つかるようになります。

FとGの候補が共に「23」になりました。【ペアの手筋】成立です。
常に一方が2でもう一方が3の関係になりますから、同じヨコ列にもう2と3は入りません。よってH=4
さらにI=3となるので、JとKで12のペアが成立してG=3
一帯の1～3が一斉に決まります。
このパズルの面白いところですね


【ペアの手筋】は3つのマスでも成立(たとえば同じ列で候補123の3マスなど)して、その場合は【トリプルの手筋】と呼びます

こんなところで盤面下は一旦終了。候補が絞られてきたマスも多いので、書き込んでおくのもよいでしょうか


(4)
次は上から埋めていく番ですが、その前に手筋の紹介を兼ねて、小さく埋められる場所を紹介します。

Aのマスに注目。
このマスの候補は6789ですが、仮に7～9のどれかと仮定すると、ヨコ列で789の【トリプル】になります。すると残り3マスの和は29-24=5なので、これを満たす組み合わせはありません(3マスの和の範囲は6～24)。
よってA=6。

このように、ペアやトリプルが発生すると矛盾してしまうことから、そのマスの候補を減らすことのできる場面があります。この手筋を、 【アンチトリプルの手筋】と呼ぶことにします(*2)

タテ24に注目。
6マス24の分解を考えてみると、123459、123468、123567
の３通りしかありません。したがってこれらの共通項である123は、必ず存在します(*3)。
既に決まっている2を除き、13の行き先を探すと、ヨコ列との交差から、B=1、C=3が決定します。

このように、和の分解が完全には決定しなくても、「ある数字がこの列に必ず存在する」という情報を元に、その数字を配置できることがあります。これを【存在証明の手筋】と呼ぶことにします

2通り以上の和のパターンを調べるのは面倒に思われるかもしれませんが、実際にはこのようにすべてを書き出す必要はありません。

仮に6マスで1が存在しないとするなら、最小の和は234567=27>24。よって1が存在。
仮に6マスで3が存在しないとするなら、最小の和は124567=25>24。よって3が存在。
仮に6マスで4が存在しないとするなら、最小の和は123567=24。よって4は存在しないかもしれない。
これより上は調べても無駄。

このように不等式で評価して、順に絞り込みます。
より高度なケースでは、列内の既に決まった数字（上の盤面における6のような）を考慮に入れることでさらに絞り込める場合があります(*4)。







(*1) 前回と若干表現は違いますが、本質的な考え方は同じです
(*2) この手筋については特に決まった名前がないので、ここで名前をつけました。このパズルには、決まった名前のつけられていない手筋が多数あります
(*3) 6の存在から、123459も除外できます。が、現時点ではあまり重要ではありません
(*4) なお、そんな場所をどうやって見つけるのだという意見もあろうかと思いますが、あると思えば、意外に見つかるのです。このケースで言えば、6マス22は分解が一通りしかないので、それに近い24でも、部分的には決まりそうだな、というように。

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(1)

先月公開された「世界で最も難しいパズル10選」という記事。世間ではなかなか話題になったようで、Gigazineの転載では、現時点で244ツイート、151のいいね！を集めています。ペンシルパズルの記事としては、異例の注目度といえるでしょう。
しかし自分の知る限り、当のペンシルパズル界ではあまり評判がよくありません。
筆頭に挙げられている「世界で最も難しいナンプレ」がほとんど試行錯誤の繰り返しで解く問題であり、残りのパズルもそうなのではないかと思われること(*1)や、ほとんどがConceptisのパズルから選んだもので「世界で最も難しい」という点に疑いがあることが理由として挙げられます。

自分も、そう思いました。

本当に世界で最も難しいのか？
「世界で最も難しいナンプレ」のように、面倒な試行錯誤をするだけのパズルではないのか？

しかし、パズルは解いてみないとわからない。解かずに憶測で語るのもよろしくない。
そこで、検証してみました。 検証対象は、7番の「最も難しい加算パズル」です。リストのペンシルパズル系のなかで個人的にもっとも好きなパズルであることに加え、これまでにも多数の難問が発表されていて比較が可能であること、見た目で予想がつかないことなどが理由です。

結論だけ先に述べておきます。「世界で最も難しい」とは言いがたいが、試行錯誤はさほど必要ではなく、十分に面白いパズルでした。
その証拠として、このパズルを解く上でポイントになる部分を順に解説してみます。もし興味がわきましたら、これを見ながらでも構いませんので、元の問題に挑戦してみてください。
なお、 ここでは応用的な部分に絞り、基本的な解き方については省略します。wikipediaなどをご参照ください


(1)
まずは、簡単な手筋で埋まるところを探してみます。2マス16と2マス9の交差や2マス16と6マス22の交差があります。ここから、さらにいくつかのマスが連動して確定します。
この段階で、いくつかのマスの候補数字も書いてしまいましょう。このクラスの問題では、候補の書き込みは必須です。また、個人的な習慣ですが、123のマスには○ 、789のマスには△を書いています。

途中経過を右に示します。クリックすると大きい画像で表示されます。
まだまだ序盤です。







(2)
右下でたくさん埋まったので、追いかけてみます。

右図、Aのマスに注目します。このマスの候補は、タテヨコのからみから5or6となります。しかし、仮に6とすると、残りのマスの組み合わせは1と2になり、Bのマスに入る数字がありません。
 したがってAは5、Bは3になります。5が使われたことで、C,Dのマスは6,7と決まり、残りのマスは8or9とわかります。

連動する部分を埋めた状態です。
ここでさらにEとFのマスを見ると、Eは6or7、Fは8or9。
ヨコは6マス24ですので、EF以外の４マスの合計が10以上（同じ列の4マスの合計は10～30になる）になるためには、E+F<=14でないといけません。条件を満たすには、E,Fともに最小の候補を選ぶ必要があり、E=6、F=8

さらに進めるとGのタテ列でも同じように考えることができて、G=6が決定します。

この考え方を【最大最小の手筋】と呼ぶことにします。この後、いろいろな形で出てきます。



こんな感じで、右下の領域はだいたい終了。
まだそんなに難しくないですね。



以下、次回以降に続きます。
当初はまとめてやるつもりでしたが、予想以上に長くなってしまったので、分割します。







(*1) このマスにある数字を入れるとしばらく後に答えがなくなるから他の数字を入れる、という方法。根拠なくこれを繰り返す解き方しかないものは、「難しいかもしれない」が、「面倒なだけ」で、「つまらない」、非常に悪い問題であるとされる
（ここで説明する解き方もある意味同じようなものに見えるかもしれないが、定型的なパターンとして説明することで、ある程度確信を持って解き進めることができる、とされる）

Akıl Oyunları

トルコからパズル雑誌が届きました。

トルコのパズル作家、Serkan Yurekliが季刊で発行するペンシルパズル専門誌「Akıl Oyunları」（英語でmind gamesの意味）です。こちらにオンライン版の目次（兼パズルのルール説明）がありますが、ビルディングパズルやバトルシップ、カックロやヤジリンからそのバリエーションまで多彩な数理パズルが出題されています。


実は縁あって、今回の号からこちらにパズルを出題させていただくことになりました。
出題するジャンルは自由。初回は何がよいかなと思ったのですが、JZCでも出題した「美術館の壁」のルールを少し変えて出題することにしました。

掲載ページはこんな感じ（問題は隠してあります）。こちらに英語版のルールがありますが、ざっくり言ってしまうと美術館の答えになるように、指定されたポリオミノを配置するパズルです（回転・反転可）。盤面は分断されてもいいです。ただし、タテヨコナナメにポリオミノが接触したり、ほかの照明に照らされる照明や照らされないマスがあってはいけません。
今回、雑誌掲載サイズということで、ペントミノを全て使った問題を載せていただきました。ちょっと変わった黒マスの発生原理を楽しんでもらえればいいなあと思います。

個人的には次号以降もちょっとマイナーなパズルを作りたいですね。
自作のパズルはさておき、それ以外にも世界各国のパズル作家が毎回いろいろなパズルを出題していて、とても楽しい雑誌です。特に、かつてのパズラーのようなバラエティ数理パズルが好きだった方は、きっと気に入ると思います。どうしても英語（雑誌自体はトルコ語ですが、英語版のルールがオンラインで確認できます）のハードルが問題になってしまうのですが、ぜひ一度、公式ページをチェックしてみてください（参考までに、年間購読は４冊２５ユーロ＝約２５００円です）。

ちなみに発行は２・５・８・１１月の上旬なのですが、作者への掲載誌発送は諸事情により一ヶ月遅れで、ここに書くのも一ヶ月遅れになったのでした。

ペンシルパズル本の電子化(2)

少し間が空いてしまいました。前回電子化したデータの画質について書きます。

まず気になるのは印刷したときの画質。
という訳で、インクジェットプリンタを使って白黒で印刷してみました。

画質はすべてスーパーファインです。再スキャンと縮小の過程で若干変わっているものの、だいたい紙上でも同じような雰囲気です。細かいところにアラはありますが、解く上で支障はありません。四角に切れは点線がちょっと濃くなっていますが、許容範囲かな。

一部ではありますが、うまくスキャンできていないページもありました。サムクロスは罫線が薄いため、線が消えてしまうことがあるようです。また、グラデーションになっている場所もダメみたいです。
白黒ではなくグレースケールでスキャンすればうまくいくかもしれないので、次回試してみます。

今度はPDFファイルから切り出した画像です。Acrobat上で300%に拡大したものです。左がファインで、右がスーパーファイン。実用的にはファインでも問題ありません。

違いがわかりやすいので、答えのページも。取り直しの手間などを考えると、最初からスーパーファインにしてしまったほうが確実でよいかもしれません。

最後に表紙のカラー画像を。左がスーパーファインで、右がエクセレントです。画面上でみると、100%ではほとんど違いが気にならず、200%以上に拡大すると細かい部分が気になる、という程度の差です。なお、容量には約４倍の差（表紙・裏表紙の2枚で850KB/3.5MB）があります。

以上です。
おおむねのページで、「解きなおしを気軽にしたい」という要望は満たせているし、本体はスーパーファイン、カラーページはエクセレントにすれば保存用としても十分な画質が得られると思います。自分の場合、今後はまず電子化してから解くことになると思います。

ペンシルパズル本の電子化(1)

昨年オープンしたという、レンタル自炊スペースなる場所で、本の電子化をやってみました。
電子化したのは、もちろんペンシルパズルの本。自分はよくペンシルパズル本を解き直すために手で問題を書き写したり二冊目を買ったりするのですが、解く前に電子化しておけば、必要な分だけ印刷して簡単に解き直すことができます。もちろんそのための環境を揃えるコストがネックになっていたのですが、手頃な価格（10分100円）で自炊環境が借りられると聞いて、試してみることにしました。

目的の店は、秋葉原メッセサンオー横のビルの8階。事前予約推奨です。店に入ると、先客が作業中だったので終わるまで少々待ちました。スペースが空いたら、店の奥に置かれた裁断機、スキャナ、PCの前へ。最初に軽く説明を受けて、あとは自分で作業します。

 まずは裁断機で背表紙を切り落とします。
 切断部分を示す赤い光で場所を合わます。世界文化社のパズルBOOKSは表紙が濃青で光が見えなくなってしまうので、ここでは白い紙を当てています。
 最初は切り離す場所や力加減が分かりにくいと思いますが、１，２回やればわかります。失敗したときのためにハサミを持っていくといいと思いました。

ばらばらになった本をセットし、スキャンします。 前のページが奥になるようにセット。所要時間はスーパーファイン＋白黒の組み合わせで5分程度（ノーマル／ファイン／スーパーファイン／エクセレント＋白黒／グレー／カラーから画質を選択）。
他の画質も軽く試してみたところ、エクセレントはスーパーファインの半分くらいの読み込み速度。また、ファインとスーパーファインでは読み込み速度はほとんど変わらないものの、変換時の待ち時間が短縮できるようです。
 なお、紙が厚いためか一度にセットしてしまうとうまく給紙できません。ここでは２回に分けています。

本日作成したデータ（計3冊）。本体以外に、表紙とカバーをエクセレント＋カラーで作成しています。あといくつか実験用データも。中身だけなら、一冊あたり５、６MBになるようです。
所要時間は40分ほどでした。初めてで手間取った面もあり、慣れれば一冊あたり5分強で可能だと思います。

裁断後の本は持ち帰り、いつものように書き込んで解けます。
背がないので、むしろ解きやすいかも。持ち運びには向きませんが。











長くなったので、作成したデータの画質については次回。実験用につくったデータとも比較してみたいと思います。