Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(3)

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(1)
Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(2)
の続きです。

前回までで、下1/3はひとまず完了しました。
今度は上から埋めていきます。













(5)

盤面上部に着手します。まずは左上部分。

埋め忘れていた3マス24を埋めました。
ヨコの3マス19に注目すると、ABが6以下、Cが8以下であることから、【最大最小】の考え方により、C=8、(A,B)=(5,6)が確定。

さらにすぐ下の4マス20に注目すると、Dが12、EFが6以下、Gが8以下。この条件で合計20を満たす方法を考えてみると、EFは456、Gは78でなくてはいけません。

さて。
２つのタテ列(45と42)で987が埋まったので、何かができそうです。

ヨコ6マス37、9マス45、6マス39は、いずれも987が入る組み合わせです。これらの列で987が入るマスを考えてみます。

まず39の列で789が入るのは、HIJの3マスのみ。さらに37の列をみると、Kはタテで987を使い切ったのでLMNに987。 

最後にヨコ9マス45。【最大最小】により、Oは4以下。よってPQRが987。

右下に視点を移して9に注目すると、もう少しだけ進めます。
ヨコ5マス32には9が必ず含まれますが、Sにしか入りません。さらにすぐ下の6マス38でT。2ヶ所ある8マス36が効いています。


この考え方で埋まるのは、ここまででしょうか













(6)
左上に戻って、候補数字を絞り込んでみます。
よく見るとABEで456の【トリプル】。したがってF=1、(C,D)=(2,3)











さて、この次がわかりにくい。
ここを見落として他の場所に行ってしまいやすいのですが、解くためには必ず通らねばならない道と思われます。

タテの7マス42で、3の入る場所を探します。
Gに入ると、G+H=5より、残り4マスで合計32となって、不可。
よってI=3。

これが決まったことで、周辺に一気に波及します。
J=4、(K,L)=(7,8)。M=9、N=9、O=9が順に確定。



さらに右上部分にも波及します。
O=9によって、タテ7マス30にはこれ以上7と8が入らなくなりました（1234569=30）。

この領域のタテ列をよく見ると、△が1つ以上あるいは2つ以上あるいは3つ入ってはいけない列が多数あります。
このことに注意しながら見ていくと、△がどんどん書き込めます。一つのヨコ列について△を書くことで、それが別のヨコ列の情報となって、△の入る場所をさらに決定します。
これで順に、(P,Q,R)=(7,8,9)、(S,T,U)=(7,8,9)、(V,W)=(8,9)。

ここで改めてヨコ6マス37を見ると、M=9が入ったことにより、X=9が確定。上に戻ってさらにいくつかの数字が確定します。


今回は、ダイナミックな789の配置と3の場所を探すのがポイントでした。前者は比較的見つけやすいですが、後者にはやや唐突感があり、難問ということなのでしょうか。
解説ということで重要な部分に絞って書いていますが、実際には、ある程度手が進まなくなってきた段階で個々のマスの候補数字を順に検討します。その過程の中で、なんとか見つかるかな、といったところです。
しかしわかりにくい分、そこを突破した後は一気に数字が埋まるようになっています。単に難しいだけのパズルではなく、十分に展開も考慮されていると感じました。

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(2)

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(1) の続きです。
現在の状況はこんな感じ。
















 
(3)
右下からつないで中央へ。
5マス17の6が確定しているので、残りは1235。
埋めていくとA、Bの候補で 【最大最小の手筋】がまた発生して、A=2、B=4に確定。
7マス42との交差から、左下の4マス10まで埋めていけます

さてC～Eのマスに注目。
Cは4マス10で最大4、Dは5マス15で最大5、Eは2マス3で最大2
したがってC～Eの合計は最大11。ヨコの残り3マスの合計最大24。
これでやっと6マス35なので、まさにこのように、C～Eが決まります(*1)

【最大最小の手筋】の大がかりなパターンです。実は初手からいきなり埋められます。初めて見ると手品みたいですが、慣れると普通に見つかるようになります。

FとGの候補が共に「23」になりました。【ペアの手筋】成立です。
常に一方が2でもう一方が3の関係になりますから、同じヨコ列にもう2と3は入りません。よってH=4
さらにI=3となるので、JとKで12のペアが成立してG=3
一帯の1～3が一斉に決まります。
このパズルの面白いところですね


【ペアの手筋】は3つのマスでも成立(たとえば同じ列で候補123の3マスなど)して、その場合は【トリプルの手筋】と呼びます

こんなところで盤面下は一旦終了。候補が絞られてきたマスも多いので、書き込んでおくのもよいでしょうか


(4)
次は上から埋めていく番ですが、その前に手筋の紹介を兼ねて、小さく埋められる場所を紹介します。

Aのマスに注目。
このマスの候補は6789ですが、仮に7～9のどれかと仮定すると、ヨコ列で789の【トリプル】になります。すると残り3マスの和は29-24=5なので、これを満たす組み合わせはありません(3マスの和の範囲は6～24)。
よってA=6。

このように、ペアやトリプルが発生すると矛盾してしまうことから、そのマスの候補を減らすことのできる場面があります。この手筋を、 【アンチトリプルの手筋】と呼ぶことにします(*2)

タテ24に注目。
6マス24の分解を考えてみると、123459、123468、123567
の３通りしかありません。したがってこれらの共通項である123は、必ず存在します(*3)。
既に決まっている2を除き、13の行き先を探すと、ヨコ列との交差から、B=1、C=3が決定します。

このように、和の分解が完全には決定しなくても、「ある数字がこの列に必ず存在する」という情報を元に、その数字を配置できることがあります。これを【存在証明の手筋】と呼ぶことにします

2通り以上の和のパターンを調べるのは面倒に思われるかもしれませんが、実際にはこのようにすべてを書き出す必要はありません。

仮に6マスで1が存在しないとするなら、最小の和は234567=27>24。よって1が存在。
仮に6マスで3が存在しないとするなら、最小の和は124567=25>24。よって3が存在。
仮に6マスで4が存在しないとするなら、最小の和は123567=24。よって4は存在しないかもしれない。
これより上は調べても無駄。

このように不等式で評価して、順に絞り込みます。
より高度なケースでは、列内の既に決まった数字（上の盤面における6のような）を考慮に入れることでさらに絞り込める場合があります(*4)。







(*1) 前回と若干表現は違いますが、本質的な考え方は同じです
(*2) この手筋については特に決まった名前がないので、ここで名前をつけました。このパズルには、決まった名前のつけられていない手筋が多数あります
(*3) 6の存在から、123459も除外できます。が、現時点ではあまり重要ではありません
(*4) なお、そんな場所をどうやって見つけるのだという意見もあろうかと思いますが、あると思えば、意外に見つかるのです。このケースで言えば、6マス22は分解が一通りしかないので、それに近い24でも、部分的には決まりそうだな、というように。

Conceptis「最も難しい加算パズル」を解いてみた(1)

先月公開された「世界で最も難しいパズル10選」という記事。世間ではなかなか話題になったようで、Gigazineの転載では、現時点で244ツイート、151のいいね！を集めています。ペンシルパズルの記事としては、異例の注目度といえるでしょう。
しかし自分の知る限り、当のペンシルパズル界ではあまり評判がよくありません。
筆頭に挙げられている「世界で最も難しいナンプレ」がほとんど試行錯誤の繰り返しで解く問題であり、残りのパズルもそうなのではないかと思われること(*1)や、ほとんどがConceptisのパズルから選んだもので「世界で最も難しい」という点に疑いがあることが理由として挙げられます。

自分も、そう思いました。

本当に世界で最も難しいのか？
「世界で最も難しいナンプレ」のように、面倒な試行錯誤をするだけのパズルではないのか？

しかし、パズルは解いてみないとわからない。解かずに憶測で語るのもよろしくない。
そこで、検証してみました。 検証対象は、7番の「最も難しい加算パズル」です。リストのペンシルパズル系のなかで個人的にもっとも好きなパズルであることに加え、これまでにも多数の難問が発表されていて比較が可能であること、見た目で予想がつかないことなどが理由です。

結論だけ先に述べておきます。「世界で最も難しい」とは言いがたいが、試行錯誤はさほど必要ではなく、十分に面白いパズルでした。
その証拠として、このパズルを解く上でポイントになる部分を順に解説してみます。もし興味がわきましたら、これを見ながらでも構いませんので、元の問題に挑戦してみてください。
なお、 ここでは応用的な部分に絞り、基本的な解き方については省略します。wikipediaなどをご参照ください


(1)
まずは、簡単な手筋で埋まるところを探してみます。2マス16と2マス9の交差や2マス16と6マス22の交差があります。ここから、さらにいくつかのマスが連動して確定します。
この段階で、いくつかのマスの候補数字も書いてしまいましょう。このクラスの問題では、候補の書き込みは必須です。また、個人的な習慣ですが、123のマスには○ 、789のマスには△を書いています。

途中経過を右に示します。クリックすると大きい画像で表示されます。
まだまだ序盤です。







(2)
右下でたくさん埋まったので、追いかけてみます。

右図、Aのマスに注目します。このマスの候補は、タテヨコのからみから5or6となります。しかし、仮に6とすると、残りのマスの組み合わせは1と2になり、Bのマスに入る数字がありません。
 したがってAは5、Bは3になります。5が使われたことで、C,Dのマスは6,7と決まり、残りのマスは8or9とわかります。

連動する部分を埋めた状態です。
ここでさらにEとFのマスを見ると、Eは6or7、Fは8or9。
ヨコは6マス24ですので、EF以外の４マスの合計が10以上（同じ列の4マスの合計は10～30になる）になるためには、E+F<=14でないといけません。条件を満たすには、E,Fともに最小の候補を選ぶ必要があり、E=6、F=8

さらに進めるとGのタテ列でも同じように考えることができて、G=6が決定します。

この考え方を【最大最小の手筋】と呼ぶことにします。この後、いろいろな形で出てきます。



こんな感じで、右下の領域はだいたい終了。
まだそんなに難しくないですね。



以下、次回以降に続きます。
当初はまとめてやるつもりでしたが、予想以上に長くなってしまったので、分割します。







(*1) このマスにある数字を入れるとしばらく後に答えがなくなるから他の数字を入れる、という方法。根拠なくこれを繰り返す解き方しかないものは、「難しいかもしれない」が、「面倒なだけ」で、「つまらない」、非常に悪い問題であるとされる
（ここで説明する解き方もある意味同じようなものに見えるかもしれないが、定型的なパターンとして説明することで、ある程度確信を持って解き進めることができる、とされる）

ひきたし風クロスマッス

Crossmath
Place given numbers into blue cells and operators into yellow cells so that five equations are true. Each numbers will be used exactly once. Only addition, multiplication, division are allowed. Subtraction is not allowed.
Calculations must be done strictly from left to right and from top to bottom.



2013年のパズル年賀状です。定番のクロスマッスに、昨年東大パズル同好会で考案された「ひきたし(*1)」の要素を加えてみました。難易度は☆２。

This is my nengajo. Difficulty is ☆2.
In Japan, puzzle makers write puzzle for his/her nengajo. It started more than 50 years ago. 


(*1)　1～100のランダムな9種類の数を足し算、掛け算、割り算で計算して、別の数を作るカードゲーム。引き算を禁止したことが特徴。診断メーカーを使った自動生成もある。

連環都市

ルール

１．以下の条件を満たすように、すべての白マスに１～５（２番では１～６）の数字を一つずつ入れる

２．タテヨコの各列と太線で囲まれた枠内で、同じ数字は入らない

３．白マスの数字は、そのマスに建っているビルの高さを表す。灰色のマスは高さが０の空き地になっていて、数字はそのマスから矢印の方向に見えるビルの数を表す

４．盤面の端は反対側の辺につながっていて、その先にあるビルも見ることができる。同じビルは、二回以上数えない

Toroidal Skyscraper Sudoku

Enter numbers from 1 to 5 (from 1 to 6 in second puzzle) into white cells, so that in every row, every column and every bold bordered area every digit appears exactly once.  Number represents the height of skyscraper in the cell.

Number with arrow indicate how many skyscrapers are visible from that direction. 

In this puzzle, the grid is toroidal.

トーラスタイプのビルディングナンプレを作ってみました。もちろんふつうのビルディングパズルでは意味がないので、盤面内に数字が置かれている特殊なタイプです。
見た目は変わっていますが、トーラス盤面のおかげで一般的なビルディングの手筋がほぼそのまま使えます。その一方で数字配置の自由度が高いため、思いがけないところから解けるかもしれません。矢印の相互作用に注意してください。

ナンプレルールはなくても作れるのですが、8x8くらいになるとどうしても面倒なので、ビルディングナンプレ仕立てにしてみました。

This is one of my puzzle experiment series. 

Numbers are placed inside of the grid. But almost techniques for standard skyscrapers can be applied. Please pay attention to interaction among arrows.

倍数はさみプレース

ルール
１．タテヨコの各列に、指定された数字を1つずつと黒マスを2個配置する。
２．黒マスの間に挟まれている数字を上から下、または左から右に読んだとき、その列の外枠の数字の倍数になるようにする。
３．×の書かれた列では、黒マスの間に数字がないようにする。






Smashed Multiples (Modified Rule from Smashed Sums)
Fill the grid with given set of digit.  Additionally, exactly two squares in each row and column should be blackened. The number between the blackened squares must be multiple of number outside the grid in the corresponding row/column. The number should be read top to bottom or left to right. Black cells should be adjacent when X is placed in that row/column.

※クリックすると、印刷用の大きな画像を開きます(Click to open large grid for printing)

海外では定番パズルの一つになりつつある「ビトゥイーン・サム」(*1)(*2)のバリエーションを考えてみました。既存の倍数系パズルと違って、数字の桁数も解きながら決めるところがポイントです。

念のため代表的な倍数の判別法を書いておきます。このようなパズルではほとんど常識として使われがちですが、パズルというより知識の問題になってしまいますので。
2の倍数：下1桁が0か2の倍数
4の倍数：下2桁が00か4の倍数
8の倍数：下3桁が000か8の倍数(以下2^nの倍数について同様)
5の倍数：下1桁が0か5(以下5^nの倍数について同様)
3の倍数：すべての桁の和が3の倍数(852なら、8+5+2=15で3の倍数)
9の倍数：すべての桁の和が9の倍数
これらの積の倍数では、それぞれの条件を満たす必要があります（5×3=15の倍数なら、下1桁が0か5で、全ての桁の和が3の倍数になる）。

(追記) ビトゥイーン・サムの作者を修正しました。現時点では不明です。稲葉氏の「ハサムサム」は、偶然の再発明だったとのことです。


This is the variation of Smashed-Sums(*1)(*2) I developed.

In this puzzle, following fact is important.
Multiple of 2 : The last one digit is multiple of 2(0, 2, 4, 6, or 8)
Multiple of 4 : The last two digits are multiple of 4(00, 04, 08, 12,...., 96)
Multiple of 8 : The last three digits are multiple of 8(000, 008, 016, 024,...., 992)
Multiple of 5 : The last one digit is 0 or 5.
Multiple of 3 : Sum of all digits is multiple of 3(for example, 852 -> 8 + 5 + 2 = 15, 852 is multiple of 3)
Multiple of 9 : Sum of all digits is multiple of 9
Of course, multiple of 15 has the property of multiple of 5 and 3.

(Updated) Original inventor of Smashed-sums in JPC 15th is unknown. Naoki Inaba reinvented the puzzle in 2008 indipendently.



(*1) ビトゥイーン・サム, 第15回全日本パズル選手権インターネット予選, 問題 20 (2006).
(*2) 稲葉氏による同じルールのパズル(ハサムサム)があります。海外での出題経緯についてはSerkan Yurekliによる記述が詳しいです。

(*1) Between Sum, 15th JPC, Puzzle 20 (2006).
(*2) Same rule puzzles by Inaba(Hasamu-Sum). Here is detailed information by Serkan Yurekli.

覆面連続サムクロス

ルール

１．盤面上の全てのマスに、１～９の数字を一つずつ入れる
２．斜線右上はそのマスから右に連続する白マスの数字の合計を、斜線左下はそのマスから下に連続する白マスの数字の合計を表す。
３．タテ列とヨコ列の連続する白マスの中で、同じ数字が重複してはいけない。
４．合計の数字は、アルファベットで置き換えられている。アルファベットは３～４５のどれかで、同じアルファベットは同じ数字を、違うアルファベットは違う数字を表す。
５．タテヨコにとなりあうマスの数字の差が１のとき、そのマスは必ず二重線で区切られている。

Coded Consecutive Kakuro (Kakuro Rules and Consecutive Rules are from Puzzlewiki)
Write the digits from 1 to 9 into the fields. The description of a "word" gives the sum of all digits in this "word". In every "word" every digit may occur only once.
Sums are replaced by alphabets. Same alphabets mean same number and different alphabets mean different numbers. Alphabets can be replaced to the number from 3 to 45.
All adjacent cells that contain consecutive digits are separated by double line.  (*5)

覆面サムクロスをさらに発展させたパズルです。各桁の０～９の数字をアルファベットに当てはめるのではなく、３～４５の和のパターンそれぞれに別のアルファベットが割り当てられます。このシンプルな改良が解き筋に与える影響は絶大で、前回の覆面サムクロスよりはるかに難しいパズルとなっています。

このような形式の覆面サムクロスは、1996年に金平牛蒡氏によって作られました。そして2000年代に入り、西山ゆかり氏が自身のホームページにてこの覆面サムクロスのバリエーションを次々と発表し、大きく発展させます。この「覆面連続サムクロス」は、2003年に「覆面不連続サムクロス(*3)」が発表されたのち、2006年のJPCで出題されたものです(*4)。2012年になって、ふたたびこのルールの問題が出題されています。

さてこれらの覆面サムクロスですが、これまで発表されたパズルではすべて覆面がカナでした。一つの理由としてアルファベットの26種類では足りないということが挙げられますが、結果として日本人以外には解きにくいパズルになっていました。
記号を追加するなどすればよいのでしょうが、今回の問題では盤面の大きさを絞ってアルファベットの範囲に収まるようにしてみました。一般的な覆面サムクロスとは大きく違う解き味を、日本人以外にも楽しんでもらえたらと思います。
大きさに合わせて難易度もなるべく抑えてみた ．．．のですが、それでもかなり難しいようです（一般的な覆面サムクロスに比べればずっと易しいとは思いますが）。ていねいに覆面の候補を絞り込んで解いてください。


This is extended puzzle of Coded Kakuro. Really tough puzzle than usual Coded Kakuro.

Such style Kakuro is first made by Kinpiragobou(*1)(*2) in 1996. In 2000s, Yukari Nishiyama started to make much of Coded Kakuro variation in her web site. She have developed this genre extremely. She made Coded Nonconsecutive Kakuro in 2003(*3). And this type first appeared in JPC 2006(*4).

So far every puzzles in the genre uses Japanese letters because it requires at most 43 symbols. As a result it is difficult for foreigners to solve them. I constructed Coded Kakuro in smaller grid and limited alphabets this time.
I tried to make easy puzzle. But it may not succeed though these puzzles are easier than usual.


(*1) 金平牛蒡 : 地獄の覆面サムクロス, パズラー, 1996年8月号 (1996).
(*2) 金平牛蒡（現キンピラ工房）氏のHP「PUZZLIST.COM」で公開されています。トップ→パズル作品紹介→数理系→地獄の覆面サムクロス。また、「復刻パズラー傑作選」(世界文化社, 2011)にも収録されています。
(*3) 西山ゆかり : 覆面不連続サムクロス , パズルの館かものはし,  難問パズル, 第３回 (2003).
(*4) 西山ゆかり : 覆面・連続サムクロス, 第15回全日本パズル選手権準決勝, PUZZLE 15 (2006).

(*1) Kinpiragobou : Hellish Coded Kakuro, Puzzler, Aug 1996 (1996).
(*2) Kinpiragobou is a Japanese puzzle maker. This is not real name but his pen name. This kakuro can be downloaded here. But unfortunately, it requires knowledge about Japanese letter to solve the puzzle.
(*3) Yukari Nishiyama : Coded Nonconsecutive Kakuro, Puzzle no yakata Kamonohashi, Puzzle of the month, puzzle. 3 (2003).
(*4) Yukari Nishiyama : Coded Consecutive Kakuro, 15th JPC semi-final, PUZZLE 15 (2006).
(*5) Double line is popular "consecutive" sign in Japan.